Integración por partes
Ya se sabe cómo realizar integrales de diversas maneras mediante la realización de sustitución o el uso de las identidades trigonométricas, ahora se vuelca el estudio a la realización de la integral de un producto, escrito en la forma,
$$I=\int{u dv}$$
Recordando que si \(u\left(x\right)\) y \(v\left(x\right)\) son funciones derivables de \(x\) entonces la derivada del producto \(u(x)v(x)\) escritas solo como \(D_x(uv)\) está dada por,
$$\frac{d}{dx}\left(uv\right)=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}$$
Asumiendo que las funciones \(u\left(x\right)\) y \(v\left(x\right)\) son continuas es posible tomar integral en ambos miembros de esta ecuación en la forma siguiente,
\begin{align}
&d(uv)=\left(v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}\right)dx\\
&\int{d\left(uv\right)}=\int{\left(v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}\right)dx}\\
&uv=\int{\left(v\frac{du}{dx}\right)dx}+\int{\left(u\frac{dv}{dx}\right)dx}\\
&uv=\int{vdu}+\int{udv}\\
\end{align}
que al despejar la integral de \(udv\) en el segundo miembro produce la expresión,
Integración por partes
$$ \int{u dv}=uv-\int{v du}$$
Al usar la fórmula de integración por pates por lo general se acostumbra elegir \(u\) como la parte del integrando que es más fácil de derivar (o menos dificultosa) tal que \(dv\) no presente dificultades mayores al integrar. La idea es convertir la integral en otra de más fácil manejo por lo que, la elección de \(u\) y \(dv\) el cual siempre contiene el diferencial de integración (por lo general \(dx\)) siendo \(v=\int{dv}\).
Una estrategía nemotecnia utilizada para ayudar en la elección de \(u\) y \(dv\) es el acrónimo ILATE el cual indica el orden para elegir la función u al integrar por partes considerando primero funciones Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponencial como se muestra en ejemplo siguiente.
Ejemplo. Una integral por partes. Determinar el vector \(\vec{\mathbf{r}}\left(t\right)\) si \(\vec{r}~'(t)=3\ln(t)\mathbf{i}.\) Solución:
\begin{align}
&\mathbf{r}~'(t)=\left(\int{3\ln(t)dt}\right)\mathbf{i}\\
&\vec{r}~'(t)=\left(3\int{udt}\right)\mathbf{i}~~~~{\rm para~~~}u=\ln(t)\\
&\vec{r}~'(t)=3\left(ut-\int{tdu}\right)\mathbf{i}\\
&\vec{r}~'(t)=3\left(t\ln\left(t\right)-\int{t\frac{dt}{t}}\right)\mathbf{i}\\
&\vec{r}~'(t)=3\left(t\ln\left(t\right)-t\right)\mathbf{i}\\
&\vec{r}~'(t)=3t\left(\ln\left(t\right)-1\right)\mathbf{i}\end{align}
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Método tabular
Algunas veces al integrar por partes se presentan integrales en las cuales es necesario integral más de una vez para dar con la solución, lo cual puede resultar un trabajo laborioso. Por lo general las integrales que involucran productos de funciones exponenciales y trigonométricas, polinomios no lineales al junto de cualquier otra función trascendente entre otros, responden a estos casos. El método tabular presenta una alternativa de dos casos, uno particular y otro general, para dichos casos.
Caso I. \(u(x)\) es un polinomio.
Si \(u(x)\) es un polinomio de grado \(n\), derivarlo \(n+1\)-veces hasta llegar a cero, integrar sucesivamente \(n\) veces la parte tomada como \(dv\), fomando los productos con signos alternando, iniciando en signo positivo, de \(u\) y sus derivads y \(dv\) y sus primitivas como se ilustra en los ejemplos Ej.1 al Ej. del aparatado Ejercicios II.
ilustran los ejemplos siguientes.
Caso II. \(u(x)\) es una función trigonométrica o trascendente.
Algunas veces se tienen integrales de productos de funciones trigonométricas y trascendente, para tales casos al calculas las n derivadas de la función es imposible que esta llegue a ser cero como en el caso anterior, por lo cual se hace necesario redefinir el método tabular para su aplicación en la manera siguiente.
Se determinan en forma sucesiva y paralelamente las derivadas de \(u\) y las integrales de \(dv\) hasta observar que ambas funciones lleguen a su forma original salvo por una constante, se forman los productos como en el caso uno adicionando la integral del producto de la última derivada de \(u\) y la última integral de \(dv\). Este caso se ilustra en el Ej. la Ej. del apartado Ejecicios
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Una integral por partes. Realizar la integral $$I=\int{9xe^{3x}dx}$$
Solución: como se tiene la integral de un producto, según la guía ILATE se considera \(u=9x^3\) (algebraica primero que exponencial) por lo que \(dv=e^{3x}dx\) y se determina el el valor de \(v\) integrando \(dv.\)
\begin{align}
&v=\int{e^{3x}dx}=\frac{1}{3}e^{3x}+c_1\end{align}
Ahora se realiza la integral por partes, sin considerar la constante \(c_1\)
\begin{align}
&I=\int{u dv}=uv-\int{v du}\\
&I=9x\frac{1}{3}e^{3x}-\int{\frac{1}{3}e^{3x}(9dx)}\\
&I=3xe^{3x}-3\int{e^{3x}dx}\\
&I=3e^{3x}-3\left(\frac{1}{3}e^{3x}\right)+c\\
&I=3xe^{3x}-e^{3x}+c\end{align}
Que puede ser escrito como \(I=e^{3x}\left(3x-1\right)+c\) si se desea. Note que al integral \(I\) no es necesario considerar la constante \(c_1\) en \(dv\), para ver esto, al determinar \(I\) puede realizarse la integral considerando \(c_1\) lo cual produce el mismo resultado.
Integrando por partes Realizar la integral $$I=\int{x\sqrt{x-3}}dx$$
Solución: haciendo \(u=x;\ dv=\sqrt{x-3}dx\) en la integrar se tiene,
$$I=\int{udv}=uv-\int{vdu}$$
Se inicia por determinar \(du=dx\) y \(v=\int{dv}.\)
$$v=\int{\sqrt{x-3}dx}=\frac{2\left(x-3\right)^{3/2}}{3}+c_1$$
Ahora se realiza la integración por partes, sin considerar \(c_1\)
\begin{align}
&I=uv-\int{vdu}\\
&I=x\frac{2\left(x-3\right)^{3/2}}{3}-\int{\frac{2\left(x-3\right)^{3/2}}{3}dx}\\
&I=\frac{2x\left(x-3\right)^{3/2}}{3}-\frac{2}{3}\left(\frac{\left(x-3\right)^{5/2}}{5/2}\right)+c\\
&I=\frac{2x\left(x-3\right)^{3/2}}{3}-\frac{4}{15}\left(x-3\right)^{5/2}+c\end{align}
Una identidad trigonométrica Realizar $$I=\int{t\sin^2{t}dt}$$
Solución: sea \(u=t\) y \(dv=\sin^2{t}dt\) entonces \(I=\int{udv}\) donde \(du=dt\) y además,
\begin{align}
&v=\int{\sin^2{t}dt}=\int{\frac{1-\cos{(2t)}}{2}dt}\\
&v=\frac{1}{2}\int{\left(1-\cos{2t}\right)dt}=\frac{1}{2}\left(t-\frac{\sin{2t}}{2}\right)+c_1\end{align}
Realizando la integración por partes (no se considera \(c_1\)),
\begin{align}
&I=uv-\int{vdu}\\
&I=\frac{t}{2}\left(t-\frac{\sin{2t}}{2}\right)-\frac{1}{2}\int{\left(t-\frac{\sin{2t}}{2}\right)dt}\\
&I=\frac{t}{2}\left(t-\frac{\sin{2t}}{2}\right)-\frac{1}{2}\int{tdt}+\frac14\int{\sin{(2t)}}\\
&I=\frac{t}{2}\left(t-\frac{\sin{2t}}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{t^2}{2}\right)+\frac14\frac{\cos{(2t)}}{2}\\
&I=\frac{t^2}{4}-\frac{t\sin{(2t)}}{4} +\frac{\cos{(2t)}}{8}+c \end{align}
Una función exponencial Resolver la integral
$$I=\int{\frac{2x}{e^x}dx}$$
Solución: se inicia por reescribir la integral en la forma
$$I={2xe^{-x}dx}$$
por lo que para la integrar por partes se toma \(u=2x ~~dv=e^{-x}dx\) de donde
$$v=\int{e^{-x}dx}=-e^{-x}+c_1$$
Ahora se realiza la integración por partes, sin considerar \(c_1\).
\begin{align}
&I=uv-\int{vdu}\\
&I=-2xe^{-x}-\int{-e^{-x}2dx}\\
&I=-2xe^{-x}-2e^{-x}+c\end{align}
Que factorizando se escribe como,
$$I=-2e^{-x}\left(x+1\right)+c$$
Integrales de un solo factor Realizar las integrales dadas
$$I_1=\int{\ln{x}dx};\ \ \ \ I_2=\int{\tan^{-1}{x}dx}$$
Solución: según la estrategia ILATE para \(I_1\) se debe elegir \(u=\ln{x}\) y \(dv=dx\) por lo que \(v=x+c_1\).
Integrando por partes (sin considerar \(c_1\)),
\begin{align}
&I_1=uv-\int{vdu}=xln{x}-\int{x\left(\frac{1}{x}\right)dx}\\
&I_1=x\ln{x}-\int{dx}=x\ln{x}-x+c\end{align}
La cual puede escribirse si se desea como,
$$I_1=x\left(\ln{x}-1\right)+c$$
Para \(I_2\) se elige \(u=\tan^{-1}{x}\) y \(dv=dx\) de donde \(v=x+c_1\). Al integrar por partes,
\begin{align}
&I_2=uv-\int{vdu}=x\tan^{-1}{x}-\int{x\left(\frac{1}{x^2+1}\right)dx}\\
&I_2=x\tan^{-1}{x}-\int{\frac{x}{x^2+1}dx}\end{align}
Integrando ahora por sustitución,
$$I_0=-\int{\frac{x}{x^2+1}dx}$$
Si \(μ=x^2+1\) entonces \(dμ=2x\) lo cual produce
\begin{align}
&I_0=-\int{\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{2}}=-\frac{1}{2}\ln{\mu}=-\frac{1}{2}(2x)+c_2\end{align}
de donde,
\begin{align}
&I_2=x\tan^{-1}{x}-\frac{1}{2}\ln{(x^2+1)}+c\\
&I_2=x\tan^{-1}{x}-\ln{\sqrt{x^2+1}}+c\end{align}
Una integral recurrente Realizar la integral\
$$I=\int{e^{3x}\cos(2x)dx}$$
Solución: según la estrategia ILATE se considera \(u=\cos{(2x)}\) (trigonométrica primero que exponencial) por lo que \(dv=e^{3x}dx\) y se realiza la integral.
\begin{align}
&I=uv-\int{vdu}\Longrightarrow v=\int{e^{3x}dx}=\frac{1}{3}e^{3x}\\
&I=\cos{(2x)}\frac{1}{3}e^{3x}-\int{\frac{1}{3}e^{3x}\left(-2sin{\left(2x\right)}\right)dx}\\
&I=\frac{1}{3}e^{3x}\cos{\left(2x\right)}+\frac{2}{3}\int{e^{3x}\sin{\left(2x\right)}dx}\\
&I=\frac{1}{3}e^{3x}\cos{\left(2x\right)}+\frac{2}{3}\left(\mu B-\int B d\mu\right)\end{align}
para \(\mu=\sin{\left(2x\right)}\) y \(B=\int{e^{3x}dx}\)
donde se han utilizados las variables \(\mu\) y \(B\) en la segunda integral para evitar la doble notación en el ejercicio, por ya haberse usado \(u\) y \(v\). Integrando nuevamente se tiene,
\begin{align}
&I=\frac{1}{3}e^{3x}\cos{\left(2x\right)}+\frac{2}{3}\left(\sin{\left(2x\right)}\frac{1}{3}e^{3x}-\int{\frac{1}{3}e^{3x}(2\cos{\left(2x\right)}dx}\right)\\
&I=\frac{1}{3}\cos{\left(2x\right)}e^{3x}+\frac{2}{9}e^{3x}\sin{\left(2x\right)}-\frac{4}{9}\int{e^{3x}\cos{\left(2x\right)}dx}\\
&I=\frac{1}{3}\cos{\left(2x\right)}e^{3x}+\frac{2}{9}\sin{\left(2x\right)}e^{3x}-\frac{4}{9}I\end{align}
que por trasposición de téminos es,
\begin{align}
&I+\frac{4}{9}I=\frac{1}{3}e^{3x}\cos{\left(2x\right)}+\frac{2}{9}e^{3x}\sin{\left(2x\right)}\\
&\frac{13}{9}I=\cos{\left(2x\right)}\frac{1}{3}e^{3x}+\frac{2}{9}\sin{\left(2x\right)}e^{3x}\\
&I=\frac{9}{13}\left(\frac{1}{3}\cos{\left(2x\right)}e^{3x}+\frac{2}{9}\sin{\left(2x\right)}e^{3x}\right)\\
&I=\frac{3}{13}\cos{\left(2x\right)}e^{3x}+\frac{2}{13}\sin{\left(2x\right)}e^{3x}+c\end{align}
Integral recurrente Realizar la integral
$$I=\int{x\cos{(2x)}dx}$$
Solución: haciendo \(u=x\) y \(dv=\cos{\left(2x\right)}dx\) la integrar se reescribe como \(I=uv-\int{vdu}\) donde \(du=dx\) y además,
$$v=\int\cos{\left(2x\right)}=\frac{1}{2}\sin{\left(2x\right)}+c_1$$
Integrando ahora por partes, sin considerar \(c_1\)
\begin{align}
&I=uv-\int{vdu}\\
&I=x\frac{1}{2}\sin{\left(2x\right)}-\int{\frac{1}{2}\sin{\left(2x\right)}dx}\\
&I=\frac{x\sin{\left(2x\right)}}{2}+\frac{\cos{\left(2x\right)}}{4}+c\end{align}
Integral recurrente. Realizar la integral
$$I=\int{\frac{xe^{3x}}{\left(3x+1\right)^2}dx}$$
Solución: para integrar por partes se elige \(u=xe^{3x}\) al junto de \(dv=1/(3x+1)\) por lo que, \(du=e^{3x}+3xe^{3x}=e^{3x}\left(3x+1\right)dx\) y además,
$$v=\int{\frac{1}{\left(3x+1\right)^2}dx}$$
que al ser integrada por sustitución para \(μ=3x+1;~~ dμ=3dx\) produce,
\begin{align}
&v=\int\frac{1}{\mu^2}\frac{d\mu}{3}=\frac{1}{3}\int{\mu^{-2}d\mu}\\
&v=-\frac{1}{3}\mu^{-1}=-\frac{1}{3\left(3x+1\right)}+c_1\end{align}
por lo cual \(I=\int{udv}\), Integrando ahora por partes
\begin{align}
&I=uv-\int{vdu}\\
&I=-\frac{xe^{3x}}{3\left(3x+1\right)}-\int{\left(\frac{1}{3\left(3x+1\right)}\right)e^{3x}\left(3x+1\right)dx}\\
&I=-\frac{xe^{3x}}{2\left(3x+1\right)}+\int\left(\frac{e^{2x}\left(3x+1\right)}{3\left(3x+1\right)}\right)dx\\
&I=-\frac{xe^{3x}}{3\left(3x+1\right)}+\frac{1}{2}\int{e^{3x}dx}\\
&I=-\frac{xe^{2x}}{3\left(3x+1\right)}+\frac{e^{3x}}{4}+c\end{align}
